y”-8y’+16=0, если y=2 и y’=9 при х=0
Это линейное диффуравнение с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде  y = erx. 
Составляем характеристическое уравнение:
 r2 -8 r + 16 = 0
D = (-8)2 - 4 • 1 • 16 = 0 , значит r1=r2=4
Корень характеристического уравнения r = 4 кратности 2.
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = e4x
y2 = xe4x
Общее решение однородного уравнения имеет вид: y=c1e4x +c2xe4x

По условию у(0)=2 , значит 2=c1e4*0 +c2*0*e4*0, т.е.  c1=2

По условию производная у’(0)=9 , найдём у’,   у’ =(c1e4x +c2xe4x)’=4c1e4x +c2e4x +4c2xe4 

Значит у’(0)= 4*c1e4*0 +c2*e4*0 +4*c2*0*e4*0=4c1+c2, т.е. у’(0)=4c1+c2, но c1=2, следовательно у’(0)=4*2+c2 =8+c2, но по условию  у’(0)=9, получим уравнение:8+c2=9 , отсюда c2=1
Поэтому решение данного уравнения имеет вид: y=2e4x +xe4x
Ответ: y=2e4x +xe4x