Координаты вектора в базисе. 
Даны векторы a(2;-1;1;3), b(3;4;-1;1), c(-5;1;0;1), d(1;0;5;1), x(2;3;1;8). Показать, что векторы образуют базис четырехмерного пространства и найти координаты вектора x в этом базисе. 
Данная задача состоит из двух частей. Сначала необходимо проверить образуют ли векторы  базис. Векторы  образуют базис, если определитель, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля, в противном случае вектора не являются базисными и вектор x нельзя разложить по данному базису. 
Вычислим определитель матрицы: 

Минор для (1,1): 

Найдем определитель для этого минора. 
∆1,1 = 4*(0*1 - 5*1) - 1*((-1)*1 - 5*1) + 0*((-1)*1 - 0*1) = -14 
Минор для (2,1): 

Найдем определитель для этого минора. 
∆2,1 = -1*(0*1 - 5*1) - 1*(1*1 - 5*3) + 0*(1*1 - 0*3) = 19 
Минор для (3,1): 

Найдем определитель для этого минора. 
∆3,1 = -1*((-1)*1 - 5*1) - 4*(1*1 - 5*3) + 0*(1*1 - (-1)*3) = 62 
Минор для (4,1): 

Найдем определитель для этого минора. 
∆4,1 = -1*((-1)*1 - 0*1) - 4*(1*1 - 0*3) + 1*(1*1 - (-1)*3) = 1 
∆ = 2*(-14)-3*19+(-5)*62-1*1 = -396. 
Определитель матрицы равен ∆ =-396. 
Так как определитель отличен от нуля, то векторы  образуют базис, следовательно, вектор x можно разложить по данному базису. Т.е. существуют такие числа α1, α2, α3, α4, что имеет место равенство: 
x = α1a + α2b + α3c + α4d. 
Запишем данное равенство в координатной форме: 
(2;3;1;8) = α(2;-1;1;3) + α(3;4;-1;1) + α(-5;1;0;1) + α(1;0;5;1) 
Используя свойства векторов, получим следующее равенство: 
(2;3;1;8) = (2α1;-1α1;1α1;3α1;) + (3α2;4α2;-1α2;1α2;) + (-5α3;1α3;0α3;1α3;) + (1α4;0α4;5α4;1α4;) 
(2;3;1;8) = (2α1 + 3α2 -5α3 + 1α4; -1α1 + 4α2 + 1α3 + 0α4; 1α1 -1α2 + 0α3 + 5α4; 3α1 + 1α2 + 1α3 + 1α4) 
По свойству равенства векторов имеем: 
2α1 + 3α2 -5α3 + 1α4 = 2 
-1α1 + 4α2 + 1α3 + 0α4 = 3 
1α1 -1α2 + 0α3 + 5α4 = 1 
3α1 + 1α2 + 1α3 + 1α4 = 8 
Решаем полученную систему уравнений методом Крамера. 
Ответ: 

x = 2a + b + c. 
 
Подробное решение определителя и системы уравнений.

det||A|| = 	  2  	
  -1  	
  1  	
  3  	

  3  	
  4  	
  -1  	
  1  	

  -5  	
  1  	
  0  	
  1  	

  1  	
  0  	
  5  	
  1  	

	 =	

= 	2	·	 4 	
 -1 	
 1 	

 1 	
 0 	
 1 	

 0 	
 5 	
 1 	

	 - 	(-1)	·	 3 	
 -1 	
 1 	

 -5 	
 0 	
 1 	

 1 	
 5 	
 1 	

	 + 	1	·	 3 	
 4 	
 1 	

 -5 	
 1 	
 1 	

 1 	
 0 	
 1 	

	 - 	3	·	 3 	
 4 	
 -1 	

 -5 	
 1 	
 0 	

 1 	
 0 	
 5 	

	 =	

 =	-396	

Запишем систему в виде:
A =	2	
3	
-5	
1	

-1	
4	
1	
0	

1	
-1	
0	
5	

3	
1	
1	
1	

	

BT = (2,3,1,8)
Система совместна тогда и только тогда, когда системный (главный) определитель не равен нулю.
Найдем определитель:
Минор для (1,1):
Δ1,1 =	4	
1	
0	

-1	
0	
5	

1	
1	
1	

	

Найдем определитель для этого минора.
∆1,1 = 4*(0*1-1*5)-(-1)*(1*1-1*0)+1*(1*5-0*0) = -14
Минор для (2,1):
Δ2,1 =	3	
-5	
1	

-1	
0	
5	

1	
1	
1	

	

Найдем определитель для этого минора.
∆2,1 = 3*(0*1-1*5)-(-1)*((-5)*1-1*1)+1*((-5)*5-0*1) = -46
Минор для (3,1):
Δ3,1 =	3	
-5	
1	

4	
1	
0	

1	
1	
1	

	

Найдем определитель для этого минора.
∆3,1 = 3*(1*1-1*0)-4*((-5)*1-1*1)+1*((-5)*0-1*1) = 26
Минор для (4,1):
Δ4,1 =	3	
-5	
1	

4	
1	
0	

-1	
0	
5	

	

Найдем определитель для этого минора.
∆4,1 = 3*(1*5-0*0)-4*((-5)*5-0*1)+(-1)*((-5)*0-1*1) = 116
Определитель:
∆ = (-1)1+12*(-14)+(-1)2+1(-1)*(-46)+(-1)3+11*26+(-1)4+13*116 = 2*(-14)-(-1)*(-46)+1*26-3*116 = -396
Заменим 1-й столбец матрицы А на вектор результата В.
2	3	-5	1	
3	4	1	0	
1	-1	0	5	
8	1	1	1	

Найдем определитель полученной матрицы.
Минор для (1,1):
Δ1,1 =	4	
1	
0	

-1	
0	
5	

1	
1	
1	

	

Найдем определитель для этого минора.
∆1,1 = 4*(0*1-1*5)-(-1)*(1*1-1*0)+1*(1*5-0*0) = -14
Минор для (2,1):
Δ2,1 =	3	
-5	
1	

-1	
0	
5	

1	
1	
1	

	

Найдем определитель для этого минора.
∆2,1 = 3*(0*1-1*5)-(-1)*((-5)*1-1*1)+1*((-5)*5-0*1) = -46
Минор для (3,1):
Δ3,1 =	3	
-5	
1	

4	
1	
0	

1	
1	
1	

	

Найдем определитель для этого минора.
∆3,1 = 3*(1*1-1*0)-4*((-5)*1-1*1)+1*((-5)*0-1*1) = 26
Минор для (4,1):
Δ4,1 =	3	
-5	
1	

4	
1	
0	

-1	
0	
5	

	

Найдем определитель для этого минора.
∆4,1 = 3*(1*5-0*0)-4*((-5)*5-0*1)+(-1)*((-5)*0-1*1) = 116
Определитель минора:
∆1 = (-1)1+1a11∆11 + (-1)2+1a21∆21 + (-1)3+1a31∆31 + (-1)4+1a41∆41 = (-1)1+12*(-14)+(-1)2+13*(-46)+(-1)3+11*26+(-1)4+18*116 = 2*(-14)-3*(-46)+1*26-8*116

Заменим 2-й столбец матрицы А на вектор результата В.
2	2	-5	1	
-1	3	1	0	
1	1	0	5	
3	8	1	1	

Найдем определитель полученной матрицы.
Минор для (1,1):
Δ1,1 =	3	
1	
0	

1	
0	
5	

8	
1	
1	

	

Найдем определитель для этого минора.
∆1,1 = 3*(0*1-1*5)-1*(1*1-1*0)+8*(1*5-0*0) = 24
Минор для (2,1):
Δ2,1 =	2	
-5	
1	

1	
0	
5	

8	
1	
1	

	

Найдем определитель для этого минора.
∆2,1 = 2*(0*1-1*5)-1*((-5)*1-1*1)+8*((-5)*5-0*1) = -204
Минор для (3,1):
Δ3,1 =	2	
-5	
1	

3	
1	
0	

8	
1	
1	

	

Найдем определитель для этого минора.
∆3,1 = 2*(1*1-1*0)-3*((-5)*1-1*1)+8*((-5)*0-1*1) = 12
Минор для (4,1):
Δ4,1 =	2	
-5	
1	

3	
1	
0	

1	
0	
5	

	

Найдем определитель для этого минора.
∆4,1 = 2*(1*5-0*0)-3*((-5)*5-0*1)+1*((-5)*0-1*1) = 84
Определитель минора:
∆2 = (-1)1+1a11∆11 + (-1)2+1a21∆21 + (-1)3+1a31∆31 + (-1)4+1a41∆41 = (-1)1+12*24+(-1)2+1(-1)*(-204)+(-1)3+11*12+(-1)4+13*84 = 2*24-(-1)*(-204)+1*12-3*84

Заменим 3-й столбец матрицы А на вектор результата В.
2	3	2	1	
-1	4	3	0	
1	-1	1	5	
3	1	8	1	

Найдем определитель полученной матрицы.
Минор для (1,1):
Δ1,1 =	4	
3	
0	

-1	
1	
5	

1	
8	
1	

	

Найдем определитель для этого минора.
∆1,1 = 4*(1*1-8*5)-(-1)*(3*1-8*0)+1*(3*5-1*0) = -138
Минор для (2,1):
Δ2,1 =	3	
2	
1	

-1	
1	
5	

1	
8	
1	

	

Найдем определитель для этого минора.
∆2,1 = 3*(1*1-8*5)-(-1)*(2*1-8*1)+1*(2*5-1*1) = -114
Минор для (3,1):
Δ3,1 =	3	
2	
1	

4	
3	
0	

1	
8	
1	

	

Найдем определитель для этого минора.
∆3,1 = 3*(3*1-8*0)-4*(2*1-8*1)+1*(2*0-3*1) = 30
Минор для (4,1):
Δ4,1 =	3	
2	
1	

4	
3	
0	

-1	
1	
5	

	

Найдем определитель для этого минора.
∆4,1 = 3*(3*5-1*0)-4*(2*5-1*1)+(-1)*(2*0-3*1) = 12
Определитель минора:
∆3 = (-1)1+1a11∆11 + (-1)2+1a21∆21 + (-1)3+1a31∆31 + (-1)4+1a41∆41 = (-1)1+12*(-138)+(-1)2+1(-1)*(-114)+(-1)3+11*30+(-1)4+13*12 = 2*(-138)-(-1)*(-114)+1*30-3*12

Заменим 4-й столбец матрицы А на вектор результата В.
2	3	-5	2	
-1	4	1	3	
1	-1	0	1	
3	1	1	8	

Найдем определитель полученной матрицы.
Минор для (1,1):
Δ1,1 =	4	
1	
3	

-1	
0	
1	

1	
1	
8	

	

Найдем определитель для этого минора.
∆1,1 = 4*(0*8-1*1)-(-1)*(1*8-1*3)+1*(1*1-0*3) = 2
Минор для (2,1):
Δ2,1 =	3	
-5	
2	

-1	
0	
1	

1	
1	
8	

	

Найдем определитель для этого минора.
∆2,1 = 3*(0*8-1*1)-(-1)*((-5)*8-1*2)+1*((-5)*1-0*2) = -50
Минор для (3,1):
Δ3,1 =	3	
-5	
2	

4	
1	
3	

1	
1	
8	

	

Найдем определитель для этого минора.
∆3,1 = 3*(1*8-1*3)-4*((-5)*8-1*2)+1*((-5)*3-1*2) = 166
Минор для (4,1):
Δ4,1 =	3	
-5	
2	

4	
1	
3	

-1	
0	
1	

	

Найдем определитель для этого минора.
∆4,1 = 3*(1*1-0*3)-4*((-5)*1-0*2)+(-1)*((-5)*3-1*2) = 40
Определитель минора:
∆4 = (-1)1+1a11∆11 + (-1)2+1a21∆21 + (-1)3+1a31∆31 + (-1)4+1a41∆41 = (-1)1+12*2+(-1)2+1(-1)*(-50)+(-1)3+11*166+(-1)4+13*40 = 2*2-(-1)*(-50)+1*166-3*40

Выпишем отдельно найденные переменные Х

Проверка.
2*2+3*1-5*1+1*0 = 2
-1*2+4*1+1*1+0*0 = 3
1*2-1*1+0*1+5*0 = 1
3*2+1*1+1*1+1*0 = 8